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九九ナンバーについて考える 

先週から始めた九九ナンバー集めですが、1週間経ってまだ2枚という有様です。その他に2台見かけたのですが、1台は走行中で撮影不能、もう1台は踏み切りの向こう側で運転手も乗っていたので断念しました。速いとは思えないペースですが、こんなものでしょうか。

こういうナンバーを探していて、いろいろと考えました。まず、どれか1つを別の数字に換えれば九九成立、というナンバーが結構あります。これは見かけたときにはつい「惜しい」と思ってしまいます。67-48とかだと、普通に九九を間違える子供みたいですし。

さらに2つ数字を換えて九九成立となると、これはもはやほとんどのナンバーが該当します。それでも全パターンを考えようとすると結構いい頭の体操になります。

ここからが本題ですが、3つ数字を換えないと九九が成立しないというナンバーは何種類くらいあるのかとふと思いました。一応条件として、「・・・3」のようなナンバーは当たり前すぎですので、・の入ったナンバーは除外して、つまり4桁とも数字が表示されているものに絞って考えてみることにしました。

以下はそれについて考察してみたものです。何通りくらいあるか予想、あるいは計算してから続きを見ていただければ幸いです。何しろこれを書きながら計算することにしましたので、間違いの指摘などいただければ感謝します。

ご協力お願いいたします! → banner_04.gif
まず、どのようなナンバーだと3つ数字を換えないといけないのかを考えます。

上2桁が普通の数字の並びだと、下2桁をその答えにすればできてしまいますので、上2桁が九九の問題になっていないことが必要です。つまり、上2桁に0が入ることが必要で、一番上には0が入らない(・になってしまう)ことを考えると、2桁目が0であることが必要になります。

この2桁目の0を何かに換えることになりますが、この際に最上位の九九の段の答えを下2桁に作ることが考えられます。例えば20-00のようなナンバーだと、21-02とか、25-10とすることが可能になります。

従って下2桁の数字は、最上位の数の九九の段に表れない数字であることが必要です。例えば20-ならば、十の位に使えないのが0と1、一の位に使えないのが偶数、というようになります。

また、下2桁が九九の答えに存在する数字の並びだと、上2桁をその問題にしてしまえば済みます。20-35→75-35という要領です。ここまで考慮したうえで、後は調べ上げていくことになります。この条件を☆としておきます。

上2桁で場合分けをして、順々に調べていきます。

【10- タイプ】
十の位に使えるのは0を除く9個。一の位に使えるのは0のみ。従って組合せとしては10、20、…、90の9個だが、☆より、使えるのは50・60・70・80・90の5通り。
【20- タイプ】
十の位に使えるのは0と1を除く8個。一の位に使えるのは奇数のみで5個。この40個のうち、☆より使えないものを探すと、21・25・27・35・45・49・63・81の8個。よって使えるのは32通り。
【30- タイプ】
十の位に使えるのは3以上の7個。一の位に使えるのは0のみ。☆より、使えるのは50・60・70・80・90の5通り。
【40- タイプ】
十の位に使えるのは4以上の6個。一の位に使えるのは奇数のみで5個。20-タイプを参考にして、使えるのは26通り。
【50- タイプ】
十の位に使えるのは5以上の5個。一の位に使えるのは0・5以外の8個。この40個のうち、☆より使えないものを探すと、54・56・63・64・72・81の6個。よって使えるのは34通り。
【60- タイプ】
十の位に使えるのは6以上の4個。一の位に使えるのは奇数のみで5個。40-と同様にして、使えるのは18通り。
【70- タイプ】
十の位に使えるのは7以上の3個。一の位に使えるのは0のみ。70・80・90の3通り。
【80- タイプ】
十の位に使えるのは8・9の2個。一の位に使えるのは奇数のみで5個。81だけ除いて、9通り。
【90- タイプ】
十の位に使えるのは9のみ。一の位に使えるのも0のみなので、1通り。

以上より、求める場合の数は、133通りとなります。予想より多かったでしょうか? 少なかったでしょうか? そもそも、合っているんでしょうか?
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コメント

一応、調べてみました。

私なりに、調べてみました。
133個になりました。
完璧だと思います。
問題の発想も良いですが、
解答も凄いです!

パソコンは使いましたが、
プログラム(マクロ)は使っていません。単純計算(掛け算)と、EXCELの関数を使いました。

方法は、
・4桁のうち、任意の2桁を
どのように変えても、九九に「ならない数字のあぶり出しです。
あぶり出しには、
任意の2桁のマスク(ワイルドカード)で*=任意の変更可ととして、
00** 0*0* 0**0 *00* *0*0 **00
の6パターンのマスクした、九九
テーブルを、1万行の数字全部、
調べて、6パターン全部マッチしない
数字が、以下の133個です。
------------
1 1050
2 1060
3 1070
4 1080
5 1090
6 2023
7 2029
8 2031
9 2033
10 2037
11 2039
12 2041
13 2043
14 2047
15 2051
16 2053
17 2055
18 2057
19 2059
20 2061
21 2065
22 2067
23 2069
24 2071
25 2073
26 2075
27 2077
28 2079
29 2083
30 2085
31 2087
32 2089
33 2091
34 2093
35 2095
36 2097
37 2099
38 3050
39 3060
40 3070
41 3080
42 3090
43 4041
44 4043
45 4047
46 4051
47 4053
48 4055
49 4057
50 4059
51 4061
52 4065
53 4067
54 4069
55 4071
56 4073
57 4075
58 4077
59 4079
60 4083
61 4085
62 4087
63 4089
64 4091
65 4093
66 4095
67 4097
68 4099
69 5051
70 5052
71 5053
72 5057
73 5058
74 5059
75 5061
76 5062
77 5066
78 5067
79 5068
80 5069
81 5071
82 5073
83 5074
84 5076
85 5077
86 5078
87 5079
88 5082
89 5083
90 5084
91 5086
92 5087
93 5088
94 5089
95 5091
96 5092
97 5093
98 5094
99 5096
100 5097
101 5098
102 5099
103 6061
104 6065
105 6067
106 6069
107 6071
108 6073
109 6075
110 6077
111 6079
112 6083
113 6085
114 6087
115 6089
116 6091
117 6093
118 6095
119 6097
120 6099
121 7070
122 7080
123 7090
124 8083
125 8085
126 8087
127 8089
128 8091
129 8093
130 8095
131 8097
132 8099
133 9090
--------------以上

お褒めいただきありがとうございます。
合っていたようで、ほっとしました。

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