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シャッフル九九ナンバーを考える 

そういえばなんだかんだで書くのを忘れていました。というか、まだ計算自体していないのですが、一応方針だけは考えてあったので、数学の先生に催促された機会にまとめておきます。もう誰もついてきていないのではないかという話はさておき。

(再掲)【問題】
並べ替えると九九が成立するナンバーは何通りあるか。
既に九九が成立しているものは含めないこととし、・なしの場合の数と・ありの場合の数(・は0と読み替え)とを求めることが望ましい。

とりあえずベストな方法かどうかは分かりませんが、0の有無と同じ数字の個数に着目して、6タイプに分けてみました。その中でもさらに分ける必要があったりするかもしれませんが、出てきたときに考慮することにします。

なお、例えば2306と3206というのは同じ数字のタイプですので、まとめて考えることにしました。ただ、重複の兼ね合いが違ってきますので、平方の九九には☆をつけて注意することにします。

[1‐A] 0あり、同じ数字3個タイプ(☆1101のみ)
・なしで2個、・ありで3個。

[1‐B] 0あり、同じ数字2個タイプ(1202,1303,1404,1505,1606,1707,1808,1909,☆2204,☆3309の10個)
・なしで(3*3)*10-18=72個、・ありで(4*3)*10-18=102個。

[1‐C] 0あり、同じ数字なしタイプ(2306,2408,2510,4520,5630,5840の6個)
・なしで(3*3!)*6-12=96個、・ありで(4!)*6-12=132個。

これ以降は0なしなので、・の有無は無関係。
[2‐A] 0なし、同じ数字3個タイプ(☆5525,☆6636の2個)
(4)*2-2=6個。

[2‐B] 0なし、同じ数字2個タイプ(2612,3515,☆4416,4624,5735,5945,6848(☆8864と重複),☆7749,☆9981の9種10個)
(4*3)*9-16=92個。

[2‐C] 0なし、同じ数字なしタイプ(2714,2816,2918,3412,3618,3721,3824(4832と重複),3927,4728,4936,6742,6954,7856,7963,8972の15種16個)
(4!)*15-32=328個。

いずれの計算も、( )内がそれぞれの並べ方の総数、その後のかけ算が個数、その後のひき算が元々九九が成立しているものの個数です。

以上の計算から、シャッフル九九ナンバーの個数は、・のないタイプで496個、・のあるタイプで563個となります。

間違っていると恥ずかしいのですが、これを書きながら慌てて数えましたので、間違いがあるような気がします。ご指摘いただければ感謝いたします。

首位も3位も間近です! → banner_04.gif
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コメント

答え合わせ

最後の足し算で100少なくなっていると思います。

下手こいた~ の心境です。お恥ずかしい限り。
その他は合っているでしょうか?

私の答えとは一致してます(なので合っていると思いたい)

先生がどんな解き方をされたのか、また公開していただけると勉強になります。
よろしくお願いします。

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  • [2007/11/30 09:41]
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